Lecția 4. D I V I Z I B I L I T A T E A – pregătirea Evaluării Naționale 2020

30 bonus points
0 successes
English
0
(0)

Noțiuni de reamintit
Spunem că „n divide m” (m, n∈ℤ), dacă există p∈ℤ a. î. m = p·n.
Notăm n | m. Spunem că „ m se divide cu n” dacă „ n divide m”.
Notăm m⋮n. n | m, atunci m este MULTIPLU de n, iar n este DIVIZOR al lui m
Da = mulțimea divizorilor numărului a ( natural sau întreg- avem aceeași notație, diferența este făcută prin enunț)
Ma=0·a, 1·a, 2·a, … = = mulțimea multiplilor numărului a (de obicei pentru numere naturale)
Exemple:
D4=1, 2, 4 – divizorii naturali ai lui 4
D4=±1, ±2, ±4 – divizorii întregi ai lui 4
M3={ 0, 3, 6,  9, ..}- multiplii naturali ai lui 3
Proprietăți
1| n, ∀n∈ℤ, n | n, ∀n∈ℤ*, m | n, n | m⇒
m=±n, m | n, n | p⇒m | p, m | n⇒
m | pn ∀p∈ℤ, m | n, m | p⇒
m | (n±p), m | n, m | p⇒
m | (an±bp), ∀, a, b∈ℤ

Divizori proprii/ improprii
Pentru numărul natural nenul n: 1 și n sunt divizori, conform proprietăților 1 și 2. Spunem că sunt DIVIZORI IMPROPRII.
Dacă numărul natural nenul n are alți divizori, în afară de 1 și n, aceia vor fi numiți PROPRII.
Exemplu: 15 are divizorii 1, 3, 5, 15. 1 și 15 sunt improprii, 3 și 5 sunt proprii.

Criterii de divizibilitate
un n umăr este divizibil cu 5⇔are ultima cifră 0 sau 5
un umăr este divizibil cu 10⇔are ultima cifră 0
un n umăr este divizibil cu 3⇔suma cifrelor este un număr divizibil cu 3
un n umăr este divizibil cu 9⇔suma cifrelor este un număr divizibil cu 9
un n umăr este divizibil cu 4⇔numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 4
un n umăr este divizibil cu 25⇔numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 25 ( 00, 25, 50, 75 )

Numere prime/ compuse
Un număr natural este PRIM, dacă are exact doi divizori. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89…
Un număr natural este COMPUS dacă are cel puțin 3 divizori. Exemplu : 4, 33, 100, …
IMPORTANT:  orice număr compus se descompune în produs de factori primi

C.m.m.d.c.
Două numere m și n pot să aibă divizori comuni. Cel mai mare dintre aceștia este important și îl notăm ( a, b ) ; îl numim „Cel Mai Mare Divizor Comun”  ( c.m.m.d.c.)
Pentru aflarea c.m.m.d.c. pentru numerele m, n.
Descompunem m și n în factori primi
alegem factorii COMUNI, o singură dată, la puterea cea mai mică și înmulțim acele numere
Exemplu: 12=22·3, 90=2·32·5, factorii comuni: 2 și 3, cele mai  mici puteri sunt 1, respectiv 1, deci (12, 90)=2·3=6

OBS: Dacă nu avem factori comuni în descompunere (m, n )=1, spunem că m și n sunt „PRIME ÎNTRE ELE”
Exemple: (5, 19)=1 , (3, 4)=1, (8, 9)=1

7. C.m.m.m.c.
Două numere m și n pot să aibă multipli comuni. Cel mai mic dintre aceștia este important și îl notăm [ a, b ] ; îl numim „Cel Mai Mic Multiplu Comun”  ( c.m.m.m.c.)
Pentru aflarea c.m.m.m.c. pentru numerele m, n.

Descompunem m și n în factori primi, alegem TOȚI factorii, o singură dată, la puterea cea mai mare și înmulțim acele numere
Exemplu: 12=22·3, 90=2·32·5, factorii sunt: 2, 3 și 5, cele mai  mari puteri sunt 2, 2, respectiv 1, deci [12, 90]=22·32·5=180
OBS: Dacă unul din numere este divizorul celuilalt, c.m.m.m.c. este numărul mai mare.

12=22·3,4=22, factorii sunt: 2 și3, cele mai  mari puteri sunt 2, respectiv 1, deci [12, 4]=22·3=12

Rezultate  importante
d= ( a, b ), a=dm, b=dn, atunci (m, n)=1
n | a și n | b , atunci n | (a, b)
a | n și b | n, atunci [a, b] | n(a, b)[a, b]=ab
∀ a, b∈ℕ

Observații
– 0 NU divide niciun număr
– 0 SE divide cu orice număr (∃0∈ℤa. î. 0·a = 0)
– numărul 1 nu este nici prim, nici compus ( are un singur divizor: numărul 1 )
– numărul 2 este singurul număr prim, par
– toate numerele pare, mai mari ca 2 sunt compuse
– sunt numere impare, compuse ( exemplu 15, cu divizorii 1, 3, 5, 15)
Oricare două numere prime diferite, sunt prime între ele

Riscuri (greșeli)
– să confundăm „divide” cu „se divide”
KIDI- sfat: divide = „împarte exact”, se divide = „se împarte exact”
– să confundăm c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c.
KIDI- sfat: c.m.m.d.c. este cel mult egal cu cel mai mic, c.m.m.m.c. este cel puțin egal cu cel mare.
– să confundăm noțiunea de numere prime cu „prime între ele”
KIDI- sfat: noțiunea de „prim” se referă la un număr, cea de „ prime între ele” se referă la două numere.

.

Ufo loves bacterias. He created a weird bacteria that makes kids not to want to go outside to play with their friends. Fight now to destroy the bacteria attack!

How useful was this post?

Click on a star to rate it!

As you found this post useful...

Follow us on social media!

We are sorry that this post was not useful for you!

Let us improve this post!

Tell us how we can improve this post?

Examples of questions from "Lecția 4. D I V I Z I B I L I T A T E A – pregătirea Evaluării Naționale 2020"

  • Numărul 1...
  • D20=
  • D4== mulțimea divizorilor întregi ai lui 4. Atunci CardD4 =

Do you think you can make a better quiz than Lecția 4. D I V I Z I B I L I T A T E A – pregătirea Evaluării Naționale 2020?

Create your own quiz!
Problems with Lecția 4. D I V I Z I B I L I T A T E A – pregătirea Evaluării Naționale 2020? Report!

Main Partner:

Kidibot este sustinut de Electrica

Supporters:

Total time: 1664149031.3403 s