Lecția 27. SISTEME DE DOUĂ ECUAȚII CU DOUĂ NECUNOSCUTE – pregătirea Evaluării Naționale 2020

• Noțiuni de reamintit

ax+b=cdx+e=f a, b, c, d, e, f∈ℝ

, este un sistem de două ecuații cu două necunoscute: x și y.

• Metoda substituției

Din una dintre ecuații se scrie una din necunoscute, în funcție de cealaltă ( de exemplu: din a doua ecuație

x=f-eyd

, dacă

d≠0

), se introduce în cealaltă ecuație (

af-eyd+by=c

) și se va obține o ecuație de gradul I cu cealaltă necunoscută, care se va rezolva. Valoarea obținută se va folosi pentru aflarea necunoscutei

Exemplu:

2x-y=5⇒y=2x-53x+4y=13⇒3x+42x-5=13⇒11x=33⇒x=3⇒y=2·3-5⇒y=1⇒S=3, 1

• Metoda reducerii

Înmulțim ecuațiile (obținând, astfel, ecuații echivalente cu cele inițiale) astfel încât una din necunoscute să aibă coeficienți opuși în cele două ecuații. Adunând noile ecuații, va disparea una din necunoscute și vom afla cealaltă necunoscută, după care vom înlocui valoarea obținută în una din ecuații, obținând cealaltă rădăcină.

2x-y=5|·43x+4y=13⇔8x-4y=203x+4y=13

______________

11x  =33⇒x=3⇒2·3-y=5⇒y=6-5⇒y=1⇒S=3, 1

• Alte exemple:

1. 2x-y=5 |·-24x-2y=10⇔-4x+2y=-104x-2y=10⇒0x+0y=0, relație verificată de o infinitate de perechi de forma

   x, y=2x-5⇒S=x, 2x-5| x∈ℝ. În această situație cele două ecuații sunt echivalente.

2. 2x-y=5 |·-24x-2y=12⇔-4x+2y=-104x-2y=12⇒0x+0y=2, relație imposibilă, oricare ar fi numerele reale x, y.

   ⇒S=∅. În această situație cele două drepte ( reprezentările grafice) sunt paralele.

• Aplicații: rezolvarea unor probleme.

1) Suma a două numere este egală cu 12, iar diferența este egală cu 2. Aflați numerele.

Rezolvare:

Fie x, y numerele. Cum diferența lor nu este 0, înseamna că nu sunt egale. Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că . Enunțul problemei se va transcrie matematic:

x+y=12x-y=2adunând cele două egalități⇒2x  =14⇒x=7⇒7+y=12⇒y=5

Numerele sunt 7 și 5.

2) Într-un bloc sunt 22 de apartamente cu 3 sau 4 camere. Știind că sunt în total 78 de camere, aflați câte apartamente sunt cu 3 camere și câte sunt cu 4 camere.

Rezolvare:

Fie x= numărul apartamentelor cu 3 camere, y = numărul apartamentelor cu 3 camere,

Enunțul problemei se va transcrie matematic:

x+y=22|·-33x+4y=78⇔-3x-3y=-663x+4y=78⇒   y=12⇒x+12=22⇒x=10

Sunt 10 apartamente cu câte 3 camere și 12 apartamente cu câte 4 camere.

3) Dacă într-o sală de clasă stau câte doi elevi într-o bancă, 5 elevi nu ar avea loc, iar dacă stau câte 3 elevi într-o bancă, rămân 3 bănci goale. Câte bănci și câți elevi sunt în clasă?

Rezolvare:

Fie e= numărul elevilor,  b = numărul băncilor

Enunțul problemei se va transcrie matematic:

2b+5=e3b-3=e⇒2b+5=3b-3⇒b=14⇒3=33

Sunt 33 de elevi și 14 bănci.

• Observații:

1) Indiferent de ordinea în care am aflat soluțiile, în prima poziție se trece valoarea corespunzătoare primei necunoscute!

2) Ce le două metode sunt exacte, dar dacă avem nevoie de o aproximare, putem folosi METODA GRAFICĂ: reprezentăm grafic dreapta soluțiilor pentru cele două ecuații și intersecția acestora ( dacă există) ne va da indicii cu privire la soluție.

• Riscuri (greșeli) 

– să scriem pe prima poziție a perechii- soluție, prima valoare obținută sau să…greșim la calcule.

KIDI- sfat: Verificăm dacă valorile obținute sunt soluții pentru ambele ecuații!

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”