Lecția 4. D I V I Z I B I L I T A T E A – pregătirea Evaluării Naționale 2020

Noțiuni de reamintit
Spunem că „n divide m” (m, n∈ℤ), dacă există p∈ℤ a. î. m = p·n.
Notăm n | m. Spunem că „ m se divide cu n” dacă „ n divide m”.
Notăm m⋮n. n | m, atunci m este MULTIPLU de n, iar n este DIVIZOR al lui m
Da = mulțimea divizorilor numărului a ( natural sau întreg- avem aceeași notație, diferența este făcută prin enunț)
Ma=0·a, 1·a, 2·a, … = = mulțimea multiplilor numărului a (de obicei pentru numere naturale)
Exemple:
D4=1, 2, 4 – divizorii naturali ai lui 4
D4=±1, ±2, ±4 – divizorii întregi ai lui 4
M3={ 0, 3, 6,  9, ..}- multiplii naturali ai lui 3
Proprietăți
1| n, ∀n∈ℤ, n | n, ∀n∈ℤ*, m | n, n | m⇒
m=±n, m | n, n | p⇒m | p, m | n⇒
m | pn ∀p∈ℤ, m | n, m | p⇒
m | (n±p), m | n, m | p⇒
m | (an±bp), ∀, a, b∈ℤ

Divizori proprii/ improprii
Pentru numărul natural nenul n: 1 și n sunt divizori, conform proprietăților 1 și 2. Spunem că sunt DIVIZORI IMPROPRII.
Dacă numărul natural nenul n are alți divizori, în afară de 1 și n, aceia vor fi numiți PROPRII.
Exemplu: 15 are divizorii 1, 3, 5, 15. 1 și 15 sunt improprii, 3 și 5 sunt proprii.

Criterii de divizibilitate
un n umăr este divizibil cu 5⇔are ultima cifră 0 sau 5
un umăr este divizibil cu 10⇔are ultima cifră 0
un n umăr este divizibil cu 3⇔suma cifrelor este un număr divizibil cu 3
un n umăr este divizibil cu 9⇔suma cifrelor este un număr divizibil cu 9
un n umăr este divizibil cu 4⇔numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 4
un n umăr este divizibil cu 25⇔numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 25 ( 00, 25, 50, 75 )

Numere prime/ compuse
Un număr natural este PRIM, dacă are exact doi divizori. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89…
Un număr natural este COMPUS dacă are cel puțin 3 divizori. Exemplu : 4, 33, 100, …
IMPORTANT:  orice număr compus se descompune în produs de factori primi

C.m.m.d.c.
Două numere m și n pot să aibă divizori comuni. Cel mai mare dintre aceștia este important și îl notăm ( a, b ) ; îl numim „Cel Mai Mare Divizor Comun”  ( c.m.m.d.c.)
Pentru aflarea c.m.m.d.c. pentru numerele m, n.
Descompunem m și n în factori primi
alegem factorii COMUNI, o singură dată, la puterea cea mai mică și înmulțim acele numere
Exemplu: 12=22·3, 90=2·32·5, factorii comuni: 2 și 3, cele mai  mici puteri sunt 1, respectiv 1, deci (12, 90)=2·3=6

OBS: Dacă nu avem factori comuni în descompunere (m, n )=1, spunem că m și n sunt „PRIME ÎNTRE ELE”
Exemple: (5, 19)=1 , (3, 4)=1, (8, 9)=1

7. C.m.m.m.c.
Două numere m și n pot să aibă multipli comuni. Cel mai mic dintre aceștia este important și îl notăm [ a, b ] ; îl numim „Cel Mai Mic Multiplu Comun”  ( c.m.m.m.c.)
Pentru aflarea c.m.m.m.c. pentru numerele m, n.

Descompunem m și n în factori primi, alegem TOȚI factorii, o singură dată, la puterea cea mai mare și înmulțim acele numere
Exemplu: 12=22·3, 90=2·32·5, factorii sunt: 2, 3 și 5, cele mai  mari puteri sunt 2, 2, respectiv 1, deci [12, 90]=22·32·5=180
OBS: Dacă unul din numere este divizorul celuilalt, c.m.m.m.c. este numărul mai mare.

12=22·3,4=22, factorii sunt: 2 și3, cele mai  mari puteri sunt 2, respectiv 1, deci [12, 4]=22·3=12

Rezultate  importante
d= ( a, b ), a=dm, b=dn, atunci (m, n)=1
n | a și n | b , atunci n | (a, b)
a | n și b | n, atunci [a, b] | n(a, b)[a, b]=ab
∀ a, b∈ℕ

Observații
– 0 NU divide niciun număr
– 0 SE divide cu orice număr (∃0∈ℤa. î. 0·a = 0)
– numărul 1 nu este nici prim, nici compus ( are un singur divizor: numărul 1 )
– numărul 2 este singurul număr prim, par
– toate numerele pare, mai mari ca 2 sunt compuse
– sunt numere impare, compuse ( exemplu 15, cu divizorii 1, 3, 5, 15)
Oricare două numere prime diferite, sunt prime între ele

Riscuri (greșeli)
– să confundăm „divide” cu „se divide”
KIDI- sfat: divide = „împarte exact”, se divide = „se împarte exact”
– să confundăm c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c.
KIDI- sfat: c.m.m.d.c. este cel mult egal cu cel mai mic, c.m.m.m.c. este cel puțin egal cu cel mare.
– să confundăm noțiunea de numere prime cu „prime între ele”
KIDI- sfat: noțiunea de „prim” se referă la un număr, cea de „ prime între ele” se referă la două numere.