Lecția 25. FUNCȚIA DE GRADUL I – pregătirea Evaluării Naționale 2020

• Noțiuni de reamintit 

– Funcția de tipul

f:ℝ→ℝ, fx=ax+b, a, b∈ℝ

se numește FUNCȚIE LINIARĂ.

– Dacă

a≠0

, atunci funcția se numește FUNCȚIE DE GRADUL I.

Exemple:

f:ℝ→ℝ, fx=2x+3g:ℝ→ℝ, gx=x-10h:ℝ→ℝ, hx=-3x+4f1:ℝ→ℝ, f1x=2xf2:ℝ→ℝ, f2x=2x-12

• Valoarea unei funcții într-un „punct”

f:ℝ→ℝ, fx=ax+b, a, b∈ℝ

Valoarea funcției în „punctul”

x0

este notată

fx0

și se obține înlocuind,în exprimarea analitică, pe x cu

x0

, adică

fx0=ax0+b

.

De exemplu:

f2=2a+b

, adică valoarea lui în 2 este 2a+b.

• Imaginea funcției 

f:ℝ→ℝ, fx=ax+b, a, b∈ℝ

Este mulțimea

Imf=fx|x∈ℝ=ℝ

• Funcții egale

Două funcții

f, :ℝ→ℝ, fx=ax+b, gx=cx+d a, b, c, d∈ℝ

sunt egale

⇔a=c, b=d

• Graficul funcției

f:ℝ→ℝ, fx=ax+b, a, b∈ℝ

Este mulțimea notată

Gf=x, fx| x∈ℝ

,

• Reprezentarea grafică ( geometrică) a funcției

f:ℝ→ℝ, fx=ax+b, a, b∈ℝ

este mulțimea punctelor din plan

Mx, y

, unde

y=fx⇔y=ax+b

care reprezintă ecuația unei drepte.

Pentru a=0, avem funcția constantă, a cărei reprezentare grafică este o dreaptă paralelă cu axa Ox pentru

b≠0

, chiar axa Ox pentru

b=0

.

Important: Deseori reprezentării grafice i se spune „grafic” pentru că există o relație biunivocă între cele două.

• Apartenența unui punct la graficul unei funcții

f:ℝ→ℝ,fx=ax+b AxA, ya∈Gf⇔fxA=yA⇔axA+b=yA

Evident,

AxA, ya∉Gf⇔fxA≠yA

De exemplu, pentru funcția

f:ℝ→ℝ, fx=x+1

avem

f0=1⇔A0, 1∈Gf, f1=2≠1⇔B1, 0∉Gf

Mențiune: am identificat deja

Gf

cu reprezentarea grafică.

• Intersecția cu axa Ox ( a reprezentării grafice)

f:ℝ→ℝ, fx=ax+b, a≠0, Gf∩Ox=A-ba, 0

• Intersecția cu axa Oy ( a reprezentării grafice)

f:ℝ→ℝ, fx=ax+b, , Gf∩Oy=B0, b

• Restricția la un interval din interval din 

ℝ

f:A→ℝ, fx=ax+b, a≠0

,

A

interval de numere reale

–

Gf

este un segment pentru intervalele mărginite

–

Gf

este o semidreaptă pentru intervalele nemărginite

• Observații 

– Pentru a reprezenta grafic o funcție de gradul I, este suficient să identificăm două puncte, apoi trasăm dreapta determinată de acestea ( este unică!).

De exemplu:

f:ℝ→ℝ, fx=x-3f1=1-3=-2⇒A1, -2∈Gff2=2-3=-1⇒B2, -1∈Gf

f:[1, 2)→ℝ, fx=x-3f1=1-3=-2⇒A1, -2∈Gff2=2-3=-1⇒B2, -1∈Gf

f:[1, ∞)→ℝ, fx=x-3f1=1-3=-2⇒A1, -2∈Gff2=2-3=-1⇒B2, -1∈Gf

– Reprezentarea grafică se poate face și folosind intersecțiile cu axele de coordonate.

De exemplu, pentru

f:ℝ→ℝ, fx=-x+3fx=0⇒-x+3=0⇒x=3⇒A3, 0∈Gff0=-0+3=3⇒B0, 3∈Gf

• Coordonatele punctului aflat la intersecția reprezentărilor grafice a două funcții

– pentru abscisă : rezolvăm ecuația

fx=gx

. Dacă avem o soluție

x0

, atunci intersecția cerută nu este mulțimea vidă

– pentru ordonată: calculăm

y0=fx0

. (Este recomandat, pentru verificare, să calculăm și

gx0

– dacă nu va fi tot

y0

, înseamnă că s-a strecurat o greșală!!!)

⇒Ax0, y0∈Gf∩Gg

De exemplu:

f,g.ℝ→ℝ, fx=x+4, gx=-x+2fx=gx⇔x+4=-x+2⇔2x=-2⇔x=-1f-1=-1+4=3, g-1=–1+2=3⇒Gf∩Gg=A-1, 3

• Riscuri (greșeli)

– Să … greșim la calcule.

KIDI- sfat:

Deși sunt necesare două puncte pentru determinarea dreptei care este reprezentarea grafică, este recomandat să găsim trei puncte: dacă am greși cumva la unul din primele două puncte, ne putem da seama când nu putem trasa dreapta prin cele trei puncte obținute. ( probabilitatea de a greși la toate trei este mai mică decât de a greși la un punct).

De exemplu, dacă pentru funcția

f→ℝ→ℝ, fx=-x+3fx=0⇒-x+3=0⇒x=3⇒A3, 0∈Gff0=-0-3=-3⇒B0, -3∈Gff2=-2+3=1⇒C2, 1∈Gf

, am calculat GREȘIT

f0

Evident, A,B,C nu sunt coliniare, deci este evident că este o greșală. Astfel, reluând calculul, putem corecta!!!

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”